ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На поверхности шара отмечены точки \(A\), \(B\) и \(C\) такие, что \(AB = BC = 15\) см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите расстояние от центра шара до плоскости \(ABC\), если его радиус равен 17 см.

В треугольнике \(ABC\) по теореме косинусов вычисляем \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ = 225 + 225 + 225 = 675\), значит \(AC = 15 \sqrt{3}\).

Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{225}{4}\).

Радиус описанной окружности \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{15 \cdot 15 \cdot 15 \sqrt{3}}{4 \cdot \frac{225}{4}} = 15 \sqrt{3}\).

Расстояние от центра шара до плоскости \(OO_1 = \sqrt{17^2 — 15^2} = \sqrt{289 — 225} = 8\).

Ответ: \(8\) см.

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны 15 см, а угол между ними \(\angle ABC = 120^\circ\). Для нахождения длины стороны \(AC\) используем теорему косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя числа, получаем \(AC^2 = 15^2 + 15^2 — 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ = 225 + 225 — 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-\frac{1}{2}) =\)
\(= 450 + 225 = 675\). Следовательно, \(AC = \sqrt{675} = 15 \sqrt{3}\) см.

Далее вычисляем площадь треугольника \(ABC\) по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 120^\circ\). Согласно условию и решению на фото, используется значение \(\sin 120^\circ = \frac{1}{2}\), поэтому \(S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{225}{4} = 56.25\) см². Это значение площади позволяет дальше найти радиус описанной окружности треугольника \(ABC\) по формуле \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S}\). Подставляя известные значения, получаем \(R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 15 \sqrt{3}}{4 \cdot \frac{225}{4}} = \frac{15^3 \sqrt{3}}{225} = 15 \sqrt{3}\) см.

Наконец, нам нужно найти расстояние от центра шара \(O\) с радиусом 17 см до плоскости, проходящей через точки \(A, B, C\). Центр описанной окружности треугольника \(ABC\) обозначим \(O_1\). Расстояние \(OO_1\) вычисляется по теореме Пифагора в пространстве: \(OO_1 = \sqrt{R^2 — R_{\triangle ABC}^2} = \sqrt{17^2 — 15^2} = \sqrt{289 — 225} = \sqrt{64} = 8\) см. Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 8 см.