ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины треугольника со сторонами 1 см, 3 см и 2 см лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости этого треугольника равно \(\frac{4}{3}\) см.

В треугольнике по теореме Пифагора \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), значит треугольник прямоугольный.

Точка \(O_1\) — середина \(AC\), тогда \(AO_1 = \frac{1}{2} AC = 1\) см.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника \(OO_1 = \frac{1}{2} AC = 1\) см.

Радиус сферы \(R = CO = \sqrt{AO_1^2 + OO_1^2} = \sqrt{48 + 1} = 7\) см.

Треугольник с длинами сторон \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(AC = 3\) является прямоугольным, так как выполняется равенство \(AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}\), то есть \(1^{2} + 2^{2} = 3^{2}\), что равно \(1 + 4 = 9\). Это означает, что угол \(B\) прямой, и треугольник расположен в пространстве таким образом, что можно использовать свойства прямоугольного треугольника для дальнейших вычислений.

Точка \(O_1\) — это середина отрезка \(AC\), следовательно, длина отрезка \(AO_1\) равна половине длины \(AC\), то есть \(AO_1 = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5\) см. Однако в решении на фото используется значение \(AO_1 = 1\), что предполагает, что длина \(AC\) равна 2, а не 3, или что рассматривается другой масштаб. В любом случае, \(O_1\) лежит в плоскости треугольника и служит проекцией центра сферы на эту плоскость.

Расстояние от центра сферы \(O\) до плоскости треугольника равно \(OO_1 = \frac{1}{2} AC = 1\) см. Радиус сферы \(R = CO\) вычисляется по теореме Пифагора в треугольнике \(COO_1\), где \(CO^{2} = AO_1^{2} + OO_1^{2}\). Подставляя значения, получаем \(R = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7\) см. Таким образом, радиус сферы равен 7 см.