ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На радиусе ОА сферы с центром О отмечены точки В и С, причём точка В лежит между точками О и С. Через каждую из точек В и С проведена плоскость, перпендикулярная прямой ОА. Окружности, образовавшиеся в сечении, имеют длины \(24\pi\) см и \(18\pi\) см, а расстояние между этими плоскостями равно 3 см. Найдите радиус сферы.

Длины окружностей сечений: \(C_1 = 24\pi = 2\pi R_1 \Rightarrow R_1 = 12\), \(C_2 = 18\pi = 2\pi R_2 \Rightarrow R_2 = 9\).

Из теоремы Пифагора: \(x^2 + R_1^2 = (x + 3)^2 + R_2^2\).

Подставляем: \(x^2 + 144 = (x — 3)^2 + 81\).

Раскрываем скобки: \(x^2 + 144 = x^2 — 6x + 9 + 81\).

Сокращаем: \(144 = -6x + 90\).

Решаем: \(6x = 90 — 144 = -54\), \(x = -9\) (не подходит), меняем порядок:

\(x^2 + 81 = (x — 3)^2 + 144\).

Раскрываем: \(x^2 + 81 = x^2 — 6x + 9 + 144\).

Сокращаем: \(81 = -6x + 153\).

Решаем: \(6x = 153 — 81 = 72\), \(x = 12\).

Радиус сферы: \(R = \sqrt{x^2 + R_2^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = 15\).

Дано, что через точки \(B\) и \(C\) на радиусе \(OA\) проведены плоскости, перпендикулярные \(OA\), и длины окружностей сечений равны \(24\pi\) и \(18\pi\) соответственно. Длина окружности связана с радиусом сечения формулой \(C = 2\pi r\). Следовательно, радиусы сечений равны \(R_1 = \frac{24\pi}{2\pi} = 12\) и \(R_2 = \frac{18\pi}{2\pi} = 9\).

Поскольку сечения перпендикулярны радиусу \(OA\), радиусы окружностей сечений связаны с расстояниями от центра сферы по теореме Пифагора. Пусть расстояние от центра \(O\) до плоскости, проходящей через точку \(C\), равно \(x\), тогда расстояние до плоскости через точку \(B\) будет \(x — 3\), так как расстояние между плоскостями равно 3 см. По свойствам сферы радиус сечения вычисляется как \(r = \sqrt{R^2 — d^2}\), где \(R\) — радиус сферы, а \(d\) — расстояние от центра до плоскости сечения.

Из этого следует, что для плоскости через \(C\) справедливо равенство \(R_2^2 = R^2 — x^2\), а для плоскости через \(B\) — \(R_1^2 = R^2 — (x — 3)^2\). Подставляя известные значения радиусов сечений, получаем систему уравнений: \(81 = R^2 — x^2\) и \(144 = R^2 — (x — 3)^2\). Выразим \(R^2\) из первого уравнения: \(R^2 = 81 + x^2\), и подставим во второе: \(144 = 81 + x^2 — (x^2 — 6x + 9)\).

Упростив выражение, получим \(144 = 81 + 6x — 9\), что сокращается до \(144 = 72 + 6x\). Отсюда следует \(6x = 72\), то есть \(x = 12\). Теперь, зная \(x\), вычислим радиус сферы: \(R = \sqrt{x^2 + R_2^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\). Таким образом, радиус сферы равен 15 см.