ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку А (-12; 3; — 4), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\), проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.

Плоскость перпендикулярна оси \(Ox\), значит уравнение плоскости \(x = -12\).

Подставляем в уравнение сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\): \(144 + y^2 + z^2 = 169\).

Получаем \(y^2 + z^2 = 25\), радиус окружности \(r = 5\).

Длина окружности \(C = 2 \pi r = 10 \pi\) (см).

Плоскость, которая перпендикулярна оси абсцисс \(Ox\), обязательно имеет уравнение вида \(x = c\), где \(c\) — постоянное число. Это связано с тем, что ось \(Ox\) направлена вдоль координаты \(x\), а плоскость, перпендикулярная этой оси, не изменяется по координатам \(y\) и \(z\). Так как плоскость проходит через точку \(A(-12; 3; -4)\), то \(c = -12\), и уравнение плоскости будет \(x = -12\).

Подставим это уравнение в уравнение сферы \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 169\). При \(x = -12\) получаем \( (-12)^{2} + y^{2} + z^{2} = 169 \), что упрощается до \(144 + y^{2} + z^{2} = 169\). Вычтем 144 из обеих частей уравнения, чтобы найти уравнение сечения сферы плоскостью: \(y^{2} + z^{2} = 169 — 144 = 25\). Это уравнение окружности в плоскости \(x = -12\) с центром в точке \((-12; 0; 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{25} = 5\).

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\). Подставляя найденный радиус, получаем \(C = 2 \pi \times 5 = 10 \pi\). Таким образом, длина окружности сечения сферы плоскостью равна \(10 \pi\) сантиметров.