ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку В (2; -3; 6), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 49\), проведена плоскость, перпендикулярная оси аппликат. Найдите площадь образовавшегося сечения шара, ограниченного данной сферой.

Точка \(B(2; -3; 6)\) принадлежит сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 49\), проверка: \(2^2 + (-3)^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49\).

Плоскость перпендикулярна оси \(z\), значит уравнение плоскости \(z = 6\).

Подставляем в уравнение сферы: \(x^2 + y^2 + 6^2 = 49 \Rightarrow x^2 + y^2 = 49 — 36 = 13\).

Радиус сечения \(r = \sqrt{13}\).

Площадь сечения \(S = \pi r^2 = 13 \pi\).

Точка \(B(2; -3; 6)\) принадлежит сфере с уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 = 49\). Чтобы убедиться в этом, подставим координаты точки в уравнение сферы: \(2^2 + (-3)^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49\). Полученное равенство подтверждает, что точка действительно лежит на поверхности сферы.

Плоскость, проходящая через точку \(B\) и перпендикулярная оси \(z\), имеет уравнение вида \(z = z_0\), где \(z_0\) — координата точки по оси \(z\). В данном случае \(z_0 = 6\), так как точка \(B\) имеет координату \(z = 6\). Это означает, что сечение сферы плоскостью будет параллельно плоскости \(xy\) и находится на высоте \(z = 6\).

Подставим \(z = 6\) в уравнение сферы: \(x^2 + y^2 + 6^2 = 49\), откуда следует \(x^2 + y^2 = 49 — 36 = 13\). Это уравнение окружности с радиусом \(r = \sqrt{13}\). Площадь круга с таким радиусом вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), то есть \(S = \pi \cdot 13 = 13 \pi\). Таким образом, площадь сечения сферы плоскостью равна \(13 \pi\).