ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какая фигура является геометрическим местом центров сфер, которые:

1) касаются данной плоскости в данной точке;

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости?

1) Геометрическим местом центров сфер, касающихся данной плоскости в данной точке, является окружность с центром в этой точке и радиусом, равным радиусу сферы.

2) Геометрическим местом центров сфер с данным радиусом, касающихся данной плоскости, является шар с радиусом, равным радиусу сферы, и центром на расстоянии этого радиуса от плоскости.

Если рассмотреть первую задачу, то геометрическим местом центров сфер, которые касаются данной плоскости в одной точке, будет окружность. Это связано с тем, что точка касания фиксирована, и все возможные центры таких сфер должны находиться на одинаковом расстоянии от этой точки, равном радиусу сферы. Таким образом, центры образуют множество точек, расположенных на окружности с радиусом \( r \), где \( r \) — радиус сферы, и центром в точке касания.

Во второй задаче рассматривается множество сфер с одинаковым радиусом, которые касаются данной плоскости, но точка касания не фиксирована. Центры таких сфер лежат на параллельной плоскости, отстоящей от данной плоскости на расстояние, равное радиусу сферы \( r \). Это означает, что все центры находятся внутри трехмерного тела — шара, радиус которого равен \( r \), и который расположен так, что его поверхность касается исходной плоскости. Таким образом, геометрическим местом центров является шар.

В обоих случаях ключевым элементом является расстояние от центра сферы до плоскости, которое должно равняться радиусу сферы \( r \). В первом случае это ограничение накладывается точкой касания, во втором — плоскостью, что и определяет форму множества центров: окружность в первом случае и шар во втором.