ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус сферы равен 40 см. Точка А, принадлежащая плоскости, касающейся этой сферы, удалена от точки касания на 9 см. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы.

Радиус сферы \( R = 40 \) см. Расстояние от точки касания до точки \( A \) равно \( AB = 9 \) см.

Расстояние от центра сферы до точки \( A \) равно \( OA = \sqrt{R^2 + AB^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41 \) см.

Расстояние от точки \( A \) до сферы равно \( OA — R = 41 — 40 = 1 \) см.

Сфера с радиусом \( R = 40 \) см касается плоскости в точке \( B \). По определению касания, радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости, то есть отрезок \( OB \), где \( O \) — центр сферы, перпендикулярен плоскости касания. Точка \( A \) лежит в этой плоскости, а расстояние от \( A \) до \( B \) равно \( AB = 9 \) см.

Поскольку \( OB \) перпендикулярен плоскости, отрезок \( AB \) лежит в плоскости, и угол между \( OB \) и \( AB \) равен \( 90^\circ \). Значит, треугольник \( OAB \) прямоугольный с прямым углом при вершине \( B \). Чтобы найти расстояние от центра сферы \( O \) до точки \( A \), используем теорему Пифагора: \( OA = \sqrt{OB^2 + AB^2} \). Подставляя значения, получаем \( OA = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41 \) см.

Расстояние от точки \( A \) до поверхности сферы — это разница между расстоянием \( OA \) и радиусом сферы \( R \), так как точка \( A \) находится вне сферы. Тогда искомое расстояние равно \( OA — R = 41 — 40 = 1 \) см. Таким образом, ближайшая точка сферы к \( A \) находится на расстоянии 1 см.