ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку М сферы радиусом 112 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости отмечена точка К, расстояние от которой до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 225 см. Найдите расстояние между точками М и К.

Точка \(M\) — точка касания сферы с радиусом \(112\) см и плоскости. Расстояние от \(K\) до наиболее удалённой точки сферы равно \(225\) см.

Расстояние от центра сферы \(O\) до плоскости равно \(OM = 112\) см.

Наиболее удалённая от \(K\) точка сферы находится на прямой через центр \(O\) и точку касания \(M\), значит \(KA = KO + OA = d + 112 = 225\).

Отсюда \(d = 225 — 112 = 113\) см — расстояние от \(K\) до центра сферы.

Расстояние \(MK\) — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(OK = 113\) и катетом \(OM = 112\).

По теореме Пифагора \(MK = \sqrt{113^2 — 112^2} = \sqrt{225} = 15\) см.

Ответ: \(MK = 15\) см.

Точка \(M\) является точкой касания сферы радиуса \(112\) см с плоскостью. Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке и расстояние от центра сферы \(O\) до этой плоскости равно радиусу сферы, то есть \(OM = 112\) см. Точка \(K\) лежит на этой касательной плоскости. Из условия известно, что расстояние от точки \(K\) до наиболее удалённой от неё точки сферы равно \(225\) см.

Наиболее удалённая от точки \(K\) точка сферы будет находиться на прямой, проходящей через центр сферы \(O\) и точку касания \(M\), но с противоположной стороны от \(K\). Обозначим расстояние от центра сферы \(O\) до точки \(K\) как \(d\). Тогда расстояние от \(K\) до наиболее удалённой точки сферы можно выразить как сумму расстояния \(KO = d\) и радиуса сферы \(OA = 112\), то есть \(KA = d + 112\). По условию \(KA = 225\), следовательно, \(d = 225 — 112 = 113\) см.

Поскольку точка \(K\) лежит на касательной плоскости, которая перпендикулярна радиусу \(OM\), расстояние \(MK\) между точками \(M\) и \(K\) является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенузой служит отрезок \(OK = d = 113\) см, а другим катетом — \(OM = 112\) см. Применяя теорему Пифагора, получаем \(MK = \sqrt{113^2 — 112^2} = \sqrt{12769 — 12544} = \sqrt{225} = 15\) см.

Ответ: \(MK = 15\) см.