ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку М (10; -10; 8).

Сфера касается координатных плоскостей, значит центр \( (R, -R, R) \) и радиус \( R \). Уравнение сферы: \( (x — R)^2 + (y + R)^2 + (z — R)^2 = R^2 \).

Подставляем точку \( M(10; -10; 8) \): \( (10 — R)^2 + (-10 + R)^2 + (8 — R)^2 = R^2 \).

Раскроем скобки и упростим: \( 100 — 20R + R^2 + 100 — 20R + R^2 + 64 — 16R + R^2 = R^2 \).

Получаем: \( 2R^2 — 56R + 264 = 0 \), делим на 2: \( R^2 — 28R + 132 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 784 — 528 = 256 \), корни: \( R = \frac{28 \pm 16}{2} \), то есть \( R = 22 \) или \( R = 6 \).

Уравнения сфер: \( (x — 6)^2 + (y + 6)^2 + (z — 6)^2 = 36 \) и \( (x — 22)^2 + (y + 22)^2 + (z — 22)^2 = 484 \).

Пусть центр сферы обозначается как \( (a, b, c) \), а радиус — \( R \). Поскольку сфера касается всех трёх координатных плоскостей \(xy\), \(yz\) и \(xz\), расстояние от центра до каждой из них равно радиусу \( R \). Координатные плоскости заданы уравнениями \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \). Значит, расстояния от центра до этих плоскостей будут равны абсолютным значениям координат центра: \( |a| = R \), \( |b| = R \), \( |c| = R \). Для того чтобы сфера касалась всех трёх плоскостей, центр должен находиться в такой точке, где все координаты равны по модулю радиусу. Из условия задачи видно, что \( b \) отрицательно, поэтому можно записать центр как \( (R, -R, R) \).

Уравнение сферы с центром \( (R, -R, R) \) и радиусом \( R \) имеет вид \( (x — R)^2 + (y + R)^2 + (z — R)^2 = R^2 \). Эта формула описывает все точки \( (x, y, z) \), которые находятся на расстоянии \( R \) от центра. Из условия известно, что сфера проходит через точку \( M(10; -10; 8) \). Подставим координаты этой точки в уравнение сферы: \( (10 — R)^2 + (-10 + R)^2 + (8 — R)^2 = R^2 \). Раскроем скобки: \( (10 — R)^2 = 100 — 20R + R^2 \), \( (-10 + R)^2 = 100 — 20R + R^2 \), \( (8 — R)^2 = 64 — 16R + R^2 \). Сложим полученные выражения: \( 100 — 20R + R^2 + 100 — 20R + R^2 + 64 — 16R + R^2 = R^2 \).

После упрощения получаем уравнение: \( 264 — 56R + 3R^2 = R^2 \). Переносим все члены в одну сторону: \( 3R^2 — 56R + 264 — R^2 = 0 \), что даёт \( 2R^2 — 56R + 264 = 0 \). Делим уравнение на 2 для удобства: \( R^2 — 28R + 132 = 0 \). Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = (-28)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 132 = 784 — 528 = 256 \). Корни уравнения находятся по формуле \( R = \frac{28 \pm \sqrt{256}}{2} \), то есть \( R = \frac{28 \pm 16}{2} \). Следовательно, \( R_1 = \frac{44}{2} = 22 \) и \( R_2 = \frac{12}{2} = 6 \).

Таким образом, найдены два радиуса сферы, которые удовлетворяют условию касания всех трёх координатных плоскостей и прохождения через точку \( M \). Для каждого радиуса можно записать уравнение сферы: при \( R = 6 \) уравнение будет \( (x — 6)^2 + (y + 6)^2 + (z — 6)^2 = 36 \), а при \( R = 22 \) — \( (x — 22)^2 + (y + 22)^2 + (z — 22)^2 = 484 \). Эти уравнения описывают две возможные сферы, удовлетворяющие заданным условиям.