ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы радиусом 4, которая касается каждой из координатных плоскостей, если абсцисса и ордината центра сферы — отрицательные числа, а аппликата — положительное.

Радиус сферы \( R = 4 \). Центр сферы находится на расстоянии \( R \) от каждой координатной плоскости, значит координаты центра равны \( (-4, -4, 4) \) по условию (x и y отрицательные, z положительное).

Уравнение сферы с центром \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид:
\( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2 \).

Подставляем:
\( (x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z — 4)^2 = 16 \).

Радиус сферы задан как \( R = 4 \). Поскольку сфера касается каждой из координатных плоскостей, центр сферы должен находиться на расстоянии ровно \( R \) от каждой из них. Координатные плоскости — это плоскости \( xy \), \( yz \) и \( xz \), которые имеют уравнения соответственно \( z = 0 \), \( x = 0 \) и \( y = 0 \). Чтобы сфера касалась этих плоскостей, расстояние от центра сферы до каждой из них должно равняться радиусу \( R \).

Пусть центр сферы имеет координаты \( (x_0, y_0, z_0) \). Тогда расстояния до плоскостей равны модулю соответствующих координат: расстояние до плоскости \( yz \) равно \( |x_0| \), до плоскости \( xz \) — \( |y_0| \), до плоскости \( xy \) — \( |z_0| \). Так как сфера касается всех трёх плоскостей, должно выполняться равенство \( |x_0| = |y_0| = |z_0| = R = 4 \). По условию абсцисса и ордината центра отрицательные, а аппликата положительная, значит координаты центра равны \( (-4, -4, 4) \).

Уравнение сферы с центром \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) записывается как \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2 \). Подставляя найденные значения, получаем уравнение \( (x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z — 4)^2 = 4^2 \), то есть \( (x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z — 4)^2 = 16 \).