ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) в точке А (-2; 1; 2).

Дано уравнение сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) и точка касания \(A(-2; 1; 2)\).

Нормальный вектор к плоскости равен радиус-вектору из центра сферы в точку касания: \(\vec{n} = (2; -1; -2)\).

Длина вектора \(|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\).

Уравнение плоскости: \(2x — y — 2z + d = 0\).

Подставляем точку \(A\): \(2 \cdot (-2) — 1 \cdot 1 — 2 \cdot 2 + d = 0\), откуда \(d = 9\).

Итоговое уравнение плоскости: \(2x — y — 2z + 9 = 0\).

Дана сфера с уравнением \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\), что означает, что центр сферы находится в начале координат \((0; 0; 0)\), а радиус равен \(3\), так как \(R = \sqrt{9} = 3\). Точка касания плоскости с этой сферой задана координатами \(A(-2; 1; 2)\). Поскольку плоскость касается сферы в этой точке, нормальный вектор к плоскости совпадает с радиус-вектором, проведённым из центра сферы к точке касания.

Радиус-вектор, направленный из центра в точку \(A\), имеет координаты \(\vec{n} = (-2; 1; 2)\). Чтобы упростить уравнение плоскости, можно взять нормальный вектор в противоположном направлении, то есть \(\vec{n} = (2; -1; -2)\). Длина этого вектора равна \( \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \). Этот нормальный вектор будет использоваться для составления уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) с нормальным вектором \(\vec{n} = (A; B; C)\), записывается как \(A(x — x_{0}) + B(y — y_{0}) + C(z — z_{0}) = 0\). Подставляя значения, получаем: \(2(x + 2) — 1(y — 1) — 2(z — 2) = 0\). Раскрываем скобки: \(2x + 4 — y + 1 — 2z + 4 = 0\), что упрощается до \(2x — y — 2z + 9 = 0\). Это и есть уравнение плоскости, касающейся сферы в точке \(A\).