ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки А, В, С, D, Е и F принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям ABC и DEF и проходящие через центры описанных окружностей треугольников ABC и DEF, пересекаются или совпадают.

Точки \(A, B, C, D, E, F\) принадлежат сфере. Пусть \(m \perp ABC\), \(n \perp DEF\). Тогда \(m\) и \(n\) — радиусы сферы, проходящие через центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\). Следовательно, \(m\) и \(n\) пересекаются или совпадают. Что и требовалось доказать.

Точки \(A, B, C, D, E, F\) лежат на одной сфере, значит существует центр сферы \(O\), равновдалённый от всех этих точек. Центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\) лежат в плоскостях \(ABC\) и \(DEF\) соответственно и являются точками пересечения серединных перпендикуляров сторон этих треугольников. Эти центры обозначим как \(O_1\) для треугольника \(ABC\) и \(O_2\) для треугольника \(DEF\).

Поскольку все точки лежат на сфере с центром \(O\), то радиусы сферы, проведённые из \(O\) к точкам \(A, B, C\) лежат в плоскости, проходящей через \(O\) и центр описанной окружности \(O_1\). Аналогично для треугольника \(DEF\) с центром описанной окружности \(O_2\). Прямые, проходящие через \(O_1\) и перпендикулярные плоскости \(ABC\), и через \(O_2\) и перпендикулярные плоскости \(DEF\), направлены вдоль радиусов сферы, соединяющих центр \(O\) с этими центрами описанных окружностей.

Так как все эти точки лежат на сфере с центром \(O\), то прямые, перпендикулярные плоскостям \(ABC\) и \(DEF\) и проходящие через центры описанных окружностей \(O_1\) и \(O_2\), являются радиусами сферы, исходящими из \(O\). Следовательно, эти прямые либо совпадают, либо пересекаются в точке \(O\), то есть они не могут быть скрещивающимися и обязательно имеют общую точку.