ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку к сфере проведены касательные. Найдите геометрическое место точек касания.

Через точку вне сферы \(P\) проведены касательные к сфере с центром \(O\) и радиусом \(R\).

Геометрическое место точек касания — окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной к отрезку \(OP\).

Радиус этой окружности равен \(\sqrt{PO^2 — R^2}\).

Пусть дана сфера с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Через точку \(P\), которая лежит вне сферы, проведены касательные к этой сфере. Каждая касательная касается сферы в одной точке, которую обозначим \(T\). По определению касательной к сфере, касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то есть угол между отрезками \(OT\) и \(PT\) равен \(90^\circ\).

Так как \(T\) — точка касания, то расстояние от \(O\) до \(T\) равно радиусу сферы: \(OT = R\). При этом длина касательной из точки \(P\) к сфере равна \(\sqrt{PO^2 — R^2}\) по теореме Пифагора, применённой к треугольнику \(OPT\), где \(OP\) — расстояние от точки \(P\) до центра сферы. Это значит, что все точки касания \(T\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(P\), которое равно длине касательной.

Геометрическое место точек касания — это множество всех точек \(T\), для которых \(OT = R\) и угол \(OTP = 90^\circ\). Такие точки лежат на окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к отрезку \(OP\), и центр этой окружности — проекция точки \(O\) на эту плоскость. Радиус этой окружности равен \(\sqrt{PO^2 — R^2}\). Таким образом, геометрическое место точек касания — окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной к \(OP\), с радиусом \(\sqrt{PO^2 — R^2}\).