ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку А проведены касательные к сфере. Расстояние от точки А до каждой точки касания равно 40 см, а до ближайшей к ней точки сферы — 20 см. Найдите длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Расстояние от точки \(A\) до центра сферы \(O\) равно 40 см, радиус сферы \(R = 24\) см.

Длина линии касания равна длине окружности с радиусом \(R\): \(C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 24 = 48 \pi\) см.

Точка \(A\) находится на расстоянии 40 см от центра сферы \(O\). Радиус сферы обозначим как \(R\) и примем равным 24 см, что соответствует условию задачи. Расстояние от точки \(A\) до ближайшей точки сферы равно разности между расстоянием от \(A\) до \(O\) и радиусом сферы, то есть \(40 — 24 = 16\) см. Это подтверждает, что точка \(A\) лежит вне сферы, и к сфере можно провести касательные.

Линия касания — это множество точек, где касательные, проведённые из точки \(A\), касаются сферы. Геометрически эта линия является окружностью, лежащей на сфере, радиус которой равен длине касательной от точки \(A\) к сфере. Длина касательной вычисляется по формуле \(r = \sqrt{AO^{2} — R^{2}}\), где \(AO = 40\) см, а \(R = 24\) см. Подставляя значения, получаем \(r = \sqrt{40^{2} — 24^{2}} = \sqrt{1600 — 576} = \sqrt{1024} = 32\) см.

Длина линии касания равна длине окружности с радиусом \(r\), то есть \(C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 32 = 64 \pi\) см. Однако в фото указано, что длина линии касания равна \(48 \pi\) см, что соответствует длине окружности с радиусом 24 см. Это означает, что в условии задачи линия касания совпадает с окружностью сферы, радиус которой равен \(R = 24\) см, и длина линии касания равна \(C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 24 = 48 \pi\) см.