ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 17 см, 28 см и 39 см и касаются данной сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости этого треугольника равно 12 см. Найдите радиус сферы.

Полупериметр \(p = \frac{17 + 28 + 39}{2} = 42\).

Площадь \(S = \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3} = 210\).

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{210}{42} = 5\).

Радиус сферы \(R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\).

Сначала вычисляем полупериметр треугольника, который равен половине суммы его сторон. Формула для полупериметра: \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Подставляем данные: \(p = \frac{17 + 28 + 39}{2} = \frac{84}{2} = 42\). Это значение нужно для дальнейших вычислений площади.

Далее находим площадь треугольника по формуле Герона, которая выражается как \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\). Подставляем значения: \(S = \sqrt{42 \cdot (42 — 17) \cdot (42 — 28) \cdot (42 — 39)} = \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3}\). Вычисляем произведение под корнем: \(42 \cdot 25 = 1050\), \(1050 \cdot 14 = 14700\), \(14700 \cdot 3 = 44100\). Значит, \(S = \sqrt{44100} = 210\).

Теперь находим радиус вписанной окружности треугольника, используя формулу \(r = \frac{S}{p}\). Подставляем значения: \(r = \frac{210}{42} = 5\). Этот радиус — расстояние от центра вписанной окружности до каждой стороны треугольника. Наконец, радиус сферы \(R\) вычисляем по теореме Пифагора, учитывая, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 12 см, а радиус вписанной окружности равен 5 см. Формула: \(R = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\).