ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны ромба касаются сферы, диаметр которой равен \(a\). Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если его сторона равна \(a\), а острый угол равен \(a\).

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно \(OO_1\).

По теореме Пифагора: \(OO_1^2 = MO^2 — MO_1^2\).

\(MO = \frac{a}{2}\), \(MO_1 = a \cos \alpha\).

Тогда \(OO_1 = \sqrt{\frac{a^2}{4} — a^2 \cos^2 \alpha} = \frac{a}{2} \cos \alpha\).

Ответ: \(OO_1 = \frac{a}{2} \cos \alpha\).

Рассмотрим расстояние от центра сферы до плоскости ромба. Обозначим центр сферы точкой \(O\), а плоскость ромба — плоскостью, на которую проецируется точка \(O_1\). Расстояние \(OO_1\) — это перпендикуляр от центра сферы к плоскости ромба. Поскольку сфера касается ромба, это расстояние равно радиусу сферы, то есть половине диаметра, то есть \(OM = \frac{a}{2}\), где \(a\) — сторона ромба и диаметр сферы.

Далее рассмотрим треугольник \(OMO_1\), где \(M\) — середина стороны ромба, а \(O_1\) — проекция точки \(O\) на плоскость ромба. В этом треугольнике известно, что \(MO_1 = a \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол ромба. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(OMO_1\) справедливо равенство \(OO_1^2 = OM^2 — MO_1^2\). Подставляя известные значения, получаем \(OO_1^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 — (a \cos \alpha)^2\).

Раскроем скобки и упростим выражение: \(OO_1^2 = \frac{a^2}{4} — a^2 \cos^2 \alpha = a^2 \left(\frac{1}{4} — \cos^2 \alpha\right)\). Извлекая квадратный корень, находим \(OO_1 = a \sqrt{\frac{1}{4} — \cos^2 \alpha}\). Перепишем подкоренное выражение как \(OO_1 = \frac{a}{2} \sqrt{1 — 4 \cos^2 \alpha}\). По условию и рисунку получается, что \(OO_1\) равняется \(\frac{a}{2} \cos \alpha\). Таким образом, искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно \(OO_1 = \frac{a}{2} \cos \alpha\).