ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 12 см. Найдите радиус шара, если площади данных сечений равны \(64\pi\) см\(^2\) и \(100\pi\) см\(^2\).

Даны радиусы сечений \(R_1 = 10\) и \(R_2 = 8\), длина общей хорды \(12\).

Найдем расстояние от центра шара до хорды \(P = \sqrt{R_1^2 — \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{100 — 36} = 8\).

Радиус шара \(R = \sqrt{P^2 + R_2^2} = \sqrt{64 + 64} = 8\sqrt{2}\).

Даны два перпендикулярных сечения шара с радиусами кругов сечений \(R_1 = 10\) и \(R_2 = 8\), а также длина общей хорды этих сечений равна 12. Чтобы найти радиус шара, сначала рассмотрим сечение с радиусом \(R_1 = 10\). В этом сечении хорда длиной 12 делит круг на две части, и расстояние от центра круга до хорды можно найти по формуле \(P = \sqrt{R_1^{2} — \left(\frac{12}{2}\right)^{2}}\). Подставляя числа, получаем \(P = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8\). Это расстояние — перпендикуляр от центра круга до хорды.

Далее рассмотрим второй круг с радиусом \(R_2 = 8\), который расположен перпендикулярно первому. Поскольку плоскости сечений перпендикулярны, расстояние от центра шара до точки пересечения хорды с этим кругом образует прямоугольный треугольник с катетами \(P\) и \(R_2\). По теореме Пифагора радиус шара равен гипотенузе этого треугольника, то есть \(R = \sqrt{P^{2} + R_2^{2}} = \sqrt{8^{2} + 8^{2}} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128}\).

Упрощая корень, получаем \(R = 8\sqrt{2}\). Таким образом, радиус шара равен \(8\sqrt{2}\), что примерно равно 11.3 см. Этот результат соответствует данным на фото и подтверждает правильность решения.