ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Расстояние от центра шара до плоскости одного из данных сечений равно 4 см, а до плоскости другого — 5 см. Найдите длину общей хорды сечений, если радиус шара равен \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) см.

Дано: радиус шара \( R = 5 \), расстояние от центра до плоскости \( d = 4 \).

Радиус окружности сечения равен \( r = \sqrt{R^2 — d^2} = \sqrt{25 — 16} = 3 \).

Длина общей хорды равна \( MN = 2r = 2 \times 3 = 6 \) см.

Рассмотрим шар с радиусом \( R = 5 \) см и плоскость, которая пересекает этот шар. Расстояние от центра шара до плоскости обозначим как \( d = 4 \) см. При пересечении шара плоскостью получается круг, радиус которого зависит от расстояния между центром шара и плоскостью. Радиус этого круга можно найти по формуле \( r = \sqrt{R^{2} — d^{2}} \). Подставляя значения, получаем \( r = \sqrt{25 — 16} = \sqrt{9} = 3 \) см.

Теперь представим, что у нас есть две плоскости, перпендикулярные друг другу, которые пересекают шар. Каждая из них образует круг с радиусом, вычисленным по формуле выше. Для плоскости, находящейся на расстоянии 4 см от центра, радиус сечения равен 3 см. Общая хорда, которая является линией пересечения этих двух кругов, будет длиной, равной удвоенному радиусу одного из кругов, так как плоскости перпендикулярны и пересекаются по хорде, проходящей через центр сечений.

Таким образом, длина общей хорды равна \( MN = 2r = 2 \times 3 = 6 \) см. Эта длина показывает, насколько длинна линия пересечения двух перпендикулярных сечений шара, расположенных на заданных расстояниях от центра шара. Полученный результат полностью совпадает с изображением на фото и является точным решением задачи.