ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шаре радиусом \(R\) проведены два равных сечения, имеющие общую хорду длиной \(a\). Угол между плоскостями сечений равен \(\alpha\). Найдите площадь каждого из данных сечений.

Пусть угол между сечениями равен \(\alpha\).

Площадь первого сечения \(S_1\) равна \(\pi \left( R^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right)\).

Площадь второго сечения \(S_2\) равна \(\pi \left( R^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right)\).

Рассмотрим шар радиусом \(R\), в котором проведены два сечения, пересекающиеся по общей хорде длиной \(a\). Угол между плоскостями сечений равен \(\alpha\). Чтобы найти площади этих сечений, нужно учесть, как расположены плоскости относительно друг друга и как длина хорды связана с радиусом и углом.

Пусть \(S_1\) и \(S_2\) — площади первого и второго сечений соответственно. Каждое сечение можно представить как фигуру, образованную пересечением шара с плоскостью, которая наклонена под определённым углом к оси, проходящей через центр шара. Из-за угла \(\alpha\) между плоскостями, компоненты радиуса \(R\) и длины хорды \(a\) проецируются на направления, зависящие от \(\frac{\alpha}{2}\). В результате площадь первого сечения выражается формулой \(S_1 = \pi \left( R^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right)\), где первый член учитывает проекцию радиуса, а второй — влияние длины хорды.

Аналогично, площадь второго сечения \(S_2\) учитывает проекции, но с противоположными тригонометрическими функциями: \(S_2 = \pi \left( R^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right)\). Таким образом, обе площади зависят от радиуса шара, длины общей хорды и угла между сечениями, причём косинус и синус угла \(\frac{\alpha}{2}\) определяют вклад каждого из этих параметров в результат.