ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку:
1) принадлежащую этой сфере;
2) расположенную вне сферы?

Через точку на сфере можно провести одну касательную плоскость, так как касательная плоскость касается сферы в одной точке.

Через точку вне сферы можно провести бесконечно много плоскостей, так как такие плоскости могут касаться сферы по касательным линиям, проходящим через эту точку.

Ответ:
1) одну; 2) бесконечно много

Если точка принадлежит сфере, то касательная плоскость к сфере в этой точке существует и единственна. Это связано с тем, что в каждой точке сферы можно провести только одну плоскость, которая касается сферы в этой точке и при этом не пересекает её. Такая плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому из центра сферы к данной точке, и именно поэтому количество касательных плоскостей через эту точку равно одному.

Если же точка расположена вне сферы, то через неё можно провести множество плоскостей, которые будут касаться сферы. Это объясняется тем, что из внешней точки можно провести бесконечно много прямых, которые касаются сферы в разных точках. Каждая такая прямая лежит в некоторой плоскости, проходящей через внешнюю точку, и эта плоскость будет касательной к сфере. Следовательно, количество касательных плоскостей через точку вне сферы не ограничено и является бесконечным.

Таким образом, если точка лежит на сфере, то существует ровно одна касательная плоскость, так как касание происходит в одной точке и плоскость определяется однозначно. Если же точка вне сферы, то из неё можно провести бесконечно много касательных плоскостей, каждая из которых касается сферы в своей точке касания.

Ответ:
1) одну; 2) бесконечно много