ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскость \(\alpha\) пересекает сферу с центром в точке \(O\) по окружности с центром в точке \(O_1\), то \(OO_1 \perp \alpha\).

Пусть \(O\) — центр сферы, \(O_1\) — центр окружности пересечения плоскости \(\alpha\) и сферы.

Так как окружность — это сечение сферы плоскостью, \(O_1\) — проекция точки \(O\) на плоскость \(\alpha\).

Следовательно, \(OO_1 \perp \alpha\).

Пусть \(O\) — центр сферы с радиусом \(R\), а плоскость \(\alpha\) пересекает эту сферу по окружности с центром в точке \(O_1\). Поскольку окружность является сечением сферы плоскостью, все точки окружности лежат одновременно на сфере и в плоскости \(\alpha\). Центр окружности \(O_1\) — это точка, находящаяся в плоскости \(\alpha\), и она является проекцией точки \(O\) на эту плоскость.

Расстояние от центра сферы \(O\) до плоскости \(\alpha\) обозначим как \(d = OO_1\). Радиус окружности пересечения \(r\) связан с радиусом сферы \(R\) и расстоянием \(d\) по формуле \(r^2 = R^2 — d^2\). Это следует из теоремы Пифагора, применённой к треугольнику, образованному радиусом сферы, расстоянием от центра сферы до плоскости и радиусом окружности пересечения.

Так как \(O_1\) — проекция \(O\) на плоскость \(\alpha\), вектор \(OO_1\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\). Это означает, что прямая, соединяющая центр сферы и центр окружности пересечения, является нормалью к плоскости \(\alpha\), то есть \(OO_1 \perp \alpha\).