ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 6 см. Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна 16\(\pi\) см. Найдите радиус сферы.

Длина окружности пересечения \(l = 16 \pi\), значит радиус окружности \(r = \frac{l}{2 \pi} = \frac{16 \pi}{2 \pi} = 8\) см.

Расстояние от центра сферы до плоскости \(d = 6\) см.

Радиус сферы \(R\) вычисляется по формуле \(R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\) см.

Ответ: \(10\) см.

Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна \(l = 16 \pi\). Эта линия является окружностью, радиус которой обозначим как \(r\). Известно, что длина окружности вычисляется по формуле \(l = 2 \pi r\). Чтобы найти радиус окружности, нужно выразить \(r\) из этой формулы: \(r = \frac{l}{2 \pi}\). Подставляя значение длины, получаем \(r = \frac{16 \pi}{2 \pi} = 8\) см. Таким образом, радиус окружности пересечения равен 8 см.

Расстояние от центра сферы до плоскости, которая пересекает сферу, равно \(d = 6\) см. Это расстояние является перпендикуляром от центра сферы к плоскости. При этом радиус сферы \(R\) связан с радиусом окружности пересечения \(r\) и расстоянием \(d\) по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом сферы, радиусом окружности и расстоянием до плоскости. Формула связи выглядит так: \(R^2 = r^2 + d^2\).

Подставляя найденные значения в формулу, получаем \(R = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) см. Таким образом, радиус сферы равен 10 см. Это значение показывает, что радиус сферы больше радиуса окружности пересечения, так как плоскость проходит на расстоянии 6 см от центра сферы, а радиус окружности пересечения — это основание прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\).