ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пересечением шара радиусом 13 см и плоскости является круг, площадь которого равна 25\(\pi\) см². Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Площадь круга сечения \( S = 25\pi \), значит радиус сечения \( r = 5 \) см.

По теореме Пифагора расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d \) вычисляется как \( d = \sqrt{R^2 — r^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

Ответ: 12 см.

Площадь круга сечения равна \( 25\pi \), из чего можно найти радиус этого круга. Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^{2} \), где \( r \) — радиус круга. Подставляя значение площади, получаем уравнение \( 25\pi = \pi r^{2} \). Сокращая на \( \pi \), находим, что \( r^{2} = 25 \), откуда радиус сечения равен \( r = 5 \) см.

Далее, чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости сечения, используем геометрическую связь между радиусом шара, радиусом круга сечения и искомым расстоянием. Радиус шара обозначим как \( R = 13 \) см. Центр шара, точка пересечения радиуса и плоскости сечения, а также радиус круга сечения образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора в этом треугольнике справедливо равенство \( R^{2} = r^{2} + d^{2} \), где \( d \) — расстояние от центра шара до плоскости.

Подставляя известные значения, имеем \( 13^{2} = 5^{2} + d^{2} \), что даёт уравнение \( 169 = 25 + d^{2} \). Вычитаем 25 из обеих частей: \( d^{2} = 169 — 25 = 144 \). Извлекая квадратный корень, получаем \( d = \sqrt{144} = 12 \) см. Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 12 см.