ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\alpha\), а сторона основания равна \(a\). Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

1. Формула для радиуса сферы \(R\), описанной около правильной четырёхугольной пирамиды, записывается как

\(R = \frac{h^2 + n^2}{2h}\),

где \(h\) — высота пирамиды, а \(n\) — половина диагонали основания.

2. Поскольку основание — квадрат со стороной \(a\), диагональ основания равна \(a \sqrt{2}\), тогда половина диагонали

\(n = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Подставляем это в формулу:

\(R = \frac{h^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}{2h}\).

3. В окончательном виде, учитывая выражение для высоты через плоский угол при вершине \(\alpha\), радиус сферы можно записать как

\(R = \frac{a}{4 \sin \frac{\alpha}{2} \sqrt{\cos \alpha}}\).

1. Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды с квадратным основанием, начнём с общей формулы, которая выражает радиус описанной сферы через высоту пирамиды \(h\) и расстояние \(n\) от центра основания до одной из вершин основания. Эта формула имеет вид \(R = \frac{h^2 + n^2}{2h}\). Здесь \(h\) — это перпендикулярное расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания, а \(n\) — половина диагонали квадрата основания. Поскольку основание — квадрат со стороной \(a\), его диагональ равна \(a \sqrt{2}\), следовательно, \(n = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Подставляя это значение в формулу, получаем \(R = \frac{h^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}{2h}\).

2. Дальше необходимо выразить высоту \(h\) через плоский угол при вершине пирамиды \(\alpha\). Плоский угол \(\alpha\) — это угол между двумя соседними боковыми рёбрами, исходящими из вершины. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. В этом треугольнике боковые рёбра равны, а угол между ними равен \(\alpha\). Высота пирамиды \(h\) связана с длиной стороны основания \(a\) и углом \(\alpha\) через тригонометрические соотношения. Учитывая геометрию пирамиды, высоту можно выразить как \(h = \frac{a}{2 \sqrt{2} \tan \frac{\alpha}{2}}\), что позволяет связать высоту с углом \(\alpha\) и стороной основания.

3. Подставляя найденное выражение для \(h\) в формулу радиуса сферы, и упрощая выражение, получаем окончательную формулу для радиуса описанной сферы: \(R = \frac{a}{4 \sin \frac{\alpha}{2} \sqrt{\cos \alpha}}\). Эта формула показывает, что радиус описанной сферы зависит от длины стороны основания \(a\) и плоского угла \(\alpha\) при вершине пирамиды, причём зависимость реализуется через тригонометрические функции синуса и косинуса. Таким образом, используя эту формулу, можно легко вычислить радиус описанной сферы, зная только \(a\) и \(\alpha\).