ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а сторона основания равна \(a\). Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Высота пирамиды \(h\) связана с угранным углом \(\alpha\) и стороной основания \(a\). Радиус описанной сферы равен \(R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{2}}{2h}\).

Выразим \(h\) через \(a\) и \(\alpha\), используя геометрию пирамиды. Тогда радиус можно представить как \(R = \frac{a(\tan \alpha + 2 \tan \frac{\alpha}{2})}{4}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием квадратом со стороной \(a\). Высота пирамиды обозначена \(h\). Радиус описанной сферы \(R\) равен расстоянию от центра сферы до любой вершины пирамиды. Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Для нахождения \(R\) используем формулу \(R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{2}}{2h}\), где \(h^2\) — квадрат высоты, а \(\frac{a^2}{2}\) — квадрат половины диагонали основания.

Угранный угол \(\alpha\) — это угол между двумя ребрами, исходящими из вершины основания. Этот угол связан с высотой пирамиды и стороной основания через тригонометрические функции. Высоту можно выразить через сторону \(a\) и угол \(\alpha\), используя соотношения тангенсов: \(h = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\). Также учитываем, что ребро пирамиды наклонено, и угол \(\alpha\) влияет на положение вершины относительно основания.

Подставляя выражение для \(h\) в формулу радиуса, получаем \(R = \frac{a(\tan \alpha + 2 \tan \frac{\alpha}{2})}{4}\). Эта формула показывает, что радиус описанной сферы зависит от стороны основания \(a\) и угранного угла \(\alpha\), учитывая как полный тангенс угла, так и половинный. Таким образом, радиус описанной сферы выражается через геометрические параметры пирамиды и угол между ребрами основания.