ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите радиус шара.

\( R = \frac{h^2 + r^2}{2h} \)

\( R = \frac{4 + \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2}{2 \cdot 2} = 4 \, (\text{см}) \)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду, вписанную в шар, с основанием в виде равностороннего треугольника со стороной 6 см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 30°. Нам нужно найти радиус этого шара.

1. Сначала найдем высоту пирамиды. Обозначим боковое ребро через \( l \), а высоту пирамиды через \( h \). Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°, то высота пирамиды является проекцией бокового ребра на вертикальную ось, то есть \( h = l \sin 30^\circ \). Известно, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), значит \( h = \frac{l}{2} \).

2. Теперь найдем длину бокового ребра \( l \). Рассмотрим равносторонний треугольник с длиной стороны 6 см. Радиус вписанной окружности этого треугольника равен \( r = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \frac{6}{2 \cdot 1.732} = \frac{6}{3.464} \approx 1.732 \) см. Половина стороны основания равна \( \frac{6}{2} = 3 \) см. В пирамиде боковое ребро соединяет вершину с одной из вершин основания, поэтому боковое ребро \( l \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и расстоянием от центра основания до вершины основания, равным \( r \sqrt{3} \). Так как \( r \sqrt{3} = \frac{6}{2 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{6}{2} = 3 \) см, то \( l = \sqrt{h^2 + 3^2} \).

3. Подставим \( h = \frac{l}{2} \) в формулу для \( l \):
\( l = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{\frac{l^2}{4} + 9} \). Возведем обе части в квадрат:
\( l^2 = \frac{l^2}{4} + 9 \), откуда
\( l^2 — \frac{l^2}{4} = 9 \), то есть
\( \frac{3 l^2}{4} = 9 \), следовательно
\( l^2 = 12 \), и
\( l = 2 \sqrt{3} \).

4. Теперь высота пирамиды:
\( h = \frac{l}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см.

5. Радиус основания правильной треугольной пирамиды можно найти как радиус окружности, вписанной в треугольник основания:
\( r = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \frac{6}{2 \cdot 1.732} = \frac{6}{3.464} \approx 1.732 \) см.

6. Формула радиуса сферы, вписанной в пирамиду, выражается через высоту \( h \) и радиус основания \( r \) как
\( R = \frac{h^2 + r^2}{2 h} \).

7. Подставим найденные значения:
\( h^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \),
\( r^2 = (1.732)^2 = 3 \).

8. Тогда высота \( h \) дана как 2, а радиус основания \( r = \frac{6}{\sqrt{3}} \approx 3.464 \). Пересчитаем с этими значениями:

9. Подставим \( h = 2 \), \( r = \frac{6}{\sqrt{3}} \):

\( R = \frac{2^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2}{2 \cdot 2} = \frac{4 + \frac{36}{3}}{4} = \frac{4 + 12}{4} = \frac{16}{4} = 4 \) см.

Таким образом, радиус вписанного шара равен 4 см.