ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит её высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Центр шара делит высоту пирамиды на отрезки 6 и 3, значит радиус описанной сферы \( R = 6 \).

Формула радиуса описанной сферы: \( R = \frac{h^2 + n^2}{2h} \), где \( h = 9 \), \( n \) — радиус вписанной окружности основания.

Подставляем: \( 6 = \frac{81 + n^2}{18} \).

Умножаем: \( 81 + n^2 = 108 \).

Вычисляем: \( n^2 = 27 \Rightarrow n = 3\sqrt{3} \).

Радиус вписанной окружности правильного треугольника: \( n = \frac{a \sqrt{3}}{6} \).

Подставляем: \( 3\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 9 \).

Ответ: сторона основания пирамиды равна 9 см.

Высота правильной треугольной пирамиды равна сумме отрезков, на которые центр описанной сферы делит высоту, то есть \( h = 6 + 3 = 9 \) см. Центр описанной сферы находится на высоте 6 см от вершины, следовательно, радиус описанной сферы \( R \) равен длине отрезка от вершины до центра сферы, то есть \( R = 6 \) см.

Радиус описанной сферы \( R \) для правильной треугольной пирамиды можно выразить через высоту \( h \) и радиус вписанной окружности основания \( n \) по формуле \( R = \frac{h^2 + n^2}{2h} \). Подставим известные значения: \( 6 = \frac{9^2 + n^2}{2 \cdot 9} \), что эквивалентно \( 6 = \frac{81 + n^2}{18} \). Умножая обе части на 18, получаем \( 81 + n^2 = 108 \), откуда \( n^2 = 27 \), а значит \( n = 3 \sqrt{3} \).

Радиус вписанной окружности правильного треугольника связан со стороной основания \( a \) формулой \( n = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Подставляя найденное значение \( n \), получаем уравнение \( 3 \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Умножая обе части на 6 и деля на \( \sqrt{3} \), находим \( a = 18 \div \sqrt{3} \), что упрощается до \( a = 9 \). Таким образом, сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см.