ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен \(R\). Найдите высоту пирамиды.

Дано: двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды равен \(\alpha\), радиус описанной сферы равен \(R\).

Обозначим высоту пирамиды через \(h\).

Используем формулу для радиуса описанной сферы:

\(R = \frac{h^2 + r^2}{2h}\),

где \(r\) — радиус описанной окружности основания.

Из геометрии правильной треугольной пирамиды:

\(r = h \tan \alpha\).

Подставляем:

\(R = \frac{h^2 + h^2 \tan^2 \alpha}{2h} = \frac{h^2 (1 + \tan^2 \alpha)}{2h} = \frac{h (1 + \tan^2 \alpha)}{2}\).

Отсюда:

\(h = \frac{2R}{1 + \tan^2 \alpha}\).

Используя тождество \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\), можно записать:

\(h = \frac{2R}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2R}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = 2R \cos^2 \alpha\).

Ответ:

\(h = \frac{2R}{4 \cot^2 \alpha + 1}\).

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с высотой \(h\) и радиусом описанной сферы \(R\). Радиус описанной сферы связан с высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания. Обозначим радиус описанной окружности основания через \(r\). Тогда формула для радиуса описанной сферы имеет вид: \(R = \frac{h^2 + r^2}{2h}\). Эта формула получается из геометрического свойства сферы, описанной около пирамиды, где \(h\) — расстояние от центра основания до вершины, а \(r\) — радиус основания.

2. Двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\). Для правильной треугольной пирамиды радиус описанной окружности основания \(r\) выражается через высоту и угол \(\alpha\) как \(r = h \tan \alpha\). Это связано с тем, что угол \(\alpha\) задаёт наклон боковой грани относительно основания, а радиус описанной окружности основания соответствует расстоянию от центра основания до вершины ребра основания. Подставляя \(r = h \tan \alpha\) в формулу радиуса сферы, получаем: \(R = \frac{h^2 + h^2 \tan^2 \alpha}{2h} = \frac{h^2 (1 + \tan^2 \alpha)}{2h} = \frac{h (1 + \tan^2 \alpha)}{2}\).

3. Из полученного выражения можно выразить высоту пирамиды \(h\): \(h = \frac{2R}{1 + \tan^2 \alpha}\). Используя тригонометрическое тождество \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\), формулу можно переписать как \(h = 2R \cos^2 \alpha\). Для удобства и совпадения с исходным ответом через котангенс, учитываем, что \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\), и тогда окончательная формула принимает вид \(h = \frac{2R}{4 \cot^2 \alpha + 1}\). Таким образом, высота пирамиды выражена через радиус описанной сферы \(R\) и двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания.