ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, ребро которого равно \(a\).

Радиус описанной сферы правильного тетраэдра равен \( R = \frac{h^2 + r^2}{2h} \).

Высота тетраэдра \( h = a \sqrt{\frac{2}{3}} \), радиус вписанного круга основания \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Подставляем и упрощаем:

\( R = \frac{\left(a \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}{2 a \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a^2 \cdot \frac{2}{3} + a^2 \cdot \frac{1}{3}}{2 a \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a^2}{2 a \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a}{2 \sqrt{\frac{2}{3}}} \).

Далее:

\( \frac{a}{2 \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{4} \).

Ответ: \( R = \frac{a \sqrt{6}}{4} \).

Радиус описанной сферы правильного тетраэдра можно найти через высоту \( h \) и радиус вписанного круга основания \( r \) по формуле \( R = \frac{h^{2} + r^{2}}{2h} \). Высота тетраэдра — это перпендикуляр от вершины к основанию, которое является равносторонним треугольником. Для правильного тетраэдра высота вычисляется как \( h = a \sqrt{\frac{2}{3}} \), где \( a \) — длина ребра. Радиус вписанного круга в равносторонний треугольник с длиной стороны \( a \) равен \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Подставим значения \( h \) и \( r \) в формулу для \( R \). Сначала возведём в квадрат высоту: \( h^{2} = \left(a \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2} = a^{2} \cdot \frac{2}{3} \). Аналогично возьмём квадрат радиуса вписанного круга: \( r^{2} = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{3} \). Сложив их, получаем числитель: \( h^{2} + r^{2} = a^{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{a^{2}}{3} = a^{2} \).

Теперь знаменатель: \( 2h = 2 \cdot a \sqrt{\frac{2}{3}} \). Подставляем в формулу:

\( R = \frac{a^{2}}{2 a \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{a}{2 \sqrt{\frac{2}{3}}} \).

Упростим знаменатель. Выражение \( \sqrt{\frac{2}{3}} \) можно переписать как \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \), тогда

\( R = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \).

Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\( R = \frac{a \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{4} \).

Таким образом, радиус описанной сферы правильного тетраэдра равен \( R = \frac{a \sqrt{6}}{4} \).