ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Если боковые рёбра пирамиды равны, то её основание — правильный треугольник.

Значит, можно описать сферу около пирамиды.

Центр этой сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Если боковые рёбра пирамиды равны, это означает, что все ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, имеют одинаковую длину. В таком случае основание пирамиды обязательно является правильным треугольником, так как равенство боковых рёбер обеспечивает симметрию фигуры относительно высоты, опущенной из вершины на основание.

Поскольку основание — правильный треугольник, вокруг него можно описать окружность, центр которой является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Эта точка лежит в плоскости основания и является центром описанной окружности. Теперь, учитывая, что все боковые рёбра равны, вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех вершин основания, то есть от центра описанной окружности основание и вершина образуют равные расстояния.

Таким образом, можно описать сферу, проходящую через все вершины пирамиды, так как существует точка — центр сферы — которая равноудалена от всех вершин. Этот центр лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды, потому что высота соединяет вершину с центром основания, а центр описанной сферы находится именно на этом отрезке, так как равные боковые рёбра обеспечивают симметрию относительно этой прямой.