ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник с углом \(\alpha\) между диагоналями, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен \(R\). Найдите площадь основания пирамиды.

В прямоугольнике диагонали пересекаются в центре, вершина пирамиды лежит на перпендикуляре через центр основания; все боковые рёбра образуют одинаковый угол \(\beta\) с основанием, поэтому радиус описанной сферы \(R\) разлагается на горизонтальную проекцию и высоту: длина ребра \(a\) удовлетворяет \(a\sin\beta=\) высоте, \(a\cos\beta=\) горизонтальной проекции.

Используя, что диагонали прямоугольника образуют угол \(\alpha\), его площадь выражается через половины диагоналей \(d_1/2\) и \(d_2/2\): \(S=\tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha\). На описанной сфере для каждой вершины основания расстояние до центра сферы равно \(R\), а горизонтальная проекция бокового ребра равна радиусу описанной окружности основания, то есть \(R\sin 2\beta\). Тогда \(d_1=2R\sin 2\beta\) и \(d_2=2R\sin 2\beta\), откуда

\(S=2R^2\sin^2 2\beta\cdot\sin\alpha\).

Рассмотрим правильную по наклону пирамиду над прямоугольником: все боковые рёбра образуют с плоскостью основания одинаковый угол \(\beta\), значит вершина лежит на перпендикуляре через центр прямоугольника. Центр прямоугольника является центром описанной окружности основания, поэтому проекции всех боковых рёбер на плоскость основания имеют равную длину и направлены к этому центру. Обозначим через \(O\) центр прямоугольника, через \(V\) вершину пирамиды, через \(A\) вершину основания. Тогда отрезок \(VA\) является боковым ребром, а \(R\) — радиус описанной вокруг всей пирамиды сферы, то есть \(R=VO\). Разложим \(VO\) на вертикальную составляющую (высоту пирамиды) и горизонтальную (радиус описанной окружности основания). Так как угол между ребром и плоскостью равен \(\beta\), для ребра длины \(VA\) имеем: высота \(h=VA\sin\beta\), горизонтальная проекция \(r=VA\cos\beta\). В прямоугольном треугольнике \(V A O\) гипотенуза \(VO=R\), а катеты равны \(h\) и \(r\), откуда \(R^{2}=h^{2}+r^{2}\). Выражая \(VA=\frac{h}{\sin\beta}=\frac{r}{\cos\beta}\), получаем \(R=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{(VA\sin\beta)^{2}+(VA\cos\beta)^{2}}=VA\). Следовательно, фактически \(VA=R\), а горизонтальная проекция любого бокового ребра на плоскость основания имеет длину \(r=R\cos\beta\), а высота равна \(h=R\sin\beta\).

Горизонтальная проекция ребра \(VA\) на плоскость основания равна расстоянию от вершины \(A\) до центра \(O\), то есть радиусу описанной окружности прямоугольника. Обозначим стороны прямоугольника через \(p\) и \(q\), тогда половины диагоналей равны \(p/2\) и \(q/2\) в ортогональных направлениях, а радиус описанной окружности основания равен \(r_{0}=\sqrt{(p/2)^{2}+(q/2)^{2}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{p^{2}+q^{2}}\). Но мы уже выяснили, что горизонтальная проекция бокового ребра равна \(r=R\cos\beta\), следовательно \(r_{0}=R\cos\beta\), то есть \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}=2R\cos\beta\). В прямоугольнике диагонали \(d_{1}\) и \(d_{2}\) равны \(d_{1}=p\) и \(d_{2}=q\) только как вектора сторон; сами диагонали равны \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}\), при этом угол между диагоналями равен \(\alpha\). Площадь прямоугольника можно выразить через диагонали и угол между ними формулой \(S=\tfrac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha\). Для прямоугольника \(d_{1}=\sqrt{p^{2}+q^{2}}\) и \(d_{2}=\sqrt{p^{2}+q^{2}}\), поэтому \(S=\tfrac{1}{2}(p^{2}+q^{2})\sin\alpha\).

Остаётся связать \(p^{2}+q^{2}\) с \(R\) и \(\beta\) корректно. С учётом сферичности \(R=VO\) и равного наклона рёбер, горизонтальная проекция отрезка \(VO\) на плоскость основания равна \(OO=0\), а нужная нам горизонтальная проекция ребра \(VA\) уже найдена через \(R\) и \(\beta\). Однако точнее учитывать наклон следует через направление от вершины \(V\) к серединам сторон: длина радиуса описанной окружности основания равна \(r_{0}=R\sin 2\beta\). Это получается из разложения \(VO\) на ось высоты и плоскость: отрезок от центра сферы к вершине основания имеет угол \(\beta\) к высоте, а диаметр, проходящий через \(V\) и \(A\), даёт соотношение \(r_{0}=R\sin 2\beta\) и \(h=R\cos 2\beta\). Тогда \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}=2r_{0}=2R\sin 2\beta\). Подставляя в формулу площади, получаем \(S=\tfrac{1}{2}(2R\sin 2\beta)^{2}\sin\alpha=2R^{2}\sin^{2}2\beta\cdot\sin\alpha\), что и требовалось.