ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24 см. Найдём гипотенузу: \( AB = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26 \) см.

Боковые рёбра равны, значит вершина \( S \) находится над серединой гипотенузы \( O \), расстояние \( AO = 13 \) см.

Радиус описанной сферы \( R = 13 \) см, высота пирамиды \( h \) связана с радиусом и половиной гипотенузы по формуле: \( R = \frac{r^2 + h^2}{2h} \), где \( r = 13 \).

Подставляем: \( 13 = \frac{13^2 + h^2}{2h} \), умножаем на \( 2h \): \( 26h = 169 + h^2 \), приводим к квадратному уравнению: \( h^2 — 26h + 169 = 0 \).

Дискриминант равен нулю, корень: \( h = 13 \) см — высота пирамиды.

Основание пирамиды представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Сначала найдём длину гипотенузы этого треугольника, используя теорему Пифагора: \( AB = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \) см. Это важно, поскольку вершина пирамиды равномерно удалена от всех трёх вершин основания, а значит, находится над серединой гипотенузы.

Поскольку боковые рёбра пирамиды равны и имеют длину 13 см, вершина \( S \) лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через середину гипотенузы \( O \). Расстояние от \( O \) до \( A \) равно половине гипотенузы, то есть 13 см. Таким образом, боковые рёбра равны расстоянию от вершины \( S \) до \( A \) и \( B \), и равны 13 см, что совпадает с длиной отрезка \( AO \).

Для нахождения высоты пирамиды \( h \) используем формулу радиуса описанной сферы вокруг пирамиды: \( R = \frac{r^2 + h^2}{2h} \), где \( r \) — радиус основания, а \( R \) — радиус описанной сферы. В нашем случае \( R = 13 \) см, \( r = AO = 13 \) см. Подставляем значения: \( 13 = \frac{13^2 + h^2}{2h} \). Умножая обе части на \( 2h \), получаем \( 26h = 169 + h^2 \). Приводим к квадратному уравнению: \( h^2 — 26h + 169 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-26)^2 — 4 \times 1 \times 169 = 676 — 676 = 0 \). Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: \( h = \frac{26}{2} = 13 \) см. Это и есть высота пирамиды.