ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В сферу радиуса \(R\) вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.

Диагональ куба равна \(a \sqrt{3}\).

Радиус сферы равен половине диагонали куба, значит \(R = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Отсюда \(a = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Площадь поверхности куба \(S = 6a^2 = 6 \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \frac{4R^2}{3} = 8R^2\).

Куб вписан в сферу, значит все вершины куба лежат на поверхности сферы. Диагональ куба — это отрезок, соединяющий противоположные вершины, и она проходит через центр сферы. Поэтому длина диагонали куба равна диаметру сферы, то есть \(d = 2R\), где \(R\) — радиус сферы.

Диагональ куба выражается через ребро \(a\) формулой \(d = a \sqrt{3}\), так как диагональ — это гипотенуза трёхмерного прямоугольного треугольника с ребрами \(a\). Подставляя \(d = 2R\), получаем уравнение \(a \sqrt{3} = 2R\). Отсюда выражаем длину ребра куба как \(a = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех шести граней, каждая из которых — квадрат со стороной \(a\). Значит площадь поверхности равна \(S = 6a^2\). Подставляя выражение для \(a\), получаем \(S = 6 \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \frac{4R^2}{3} = 8R^2\). Таким образом, площадь поверхности куба, вписанного в сферу радиуса \(R\), равна \(8R^2\).