ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 25 см, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды равно 7 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Радиус описанной сферы \( R = 25 \), расстояние от центра сферы до основания \( h = 8 \).

Используем формулу \( R = \frac{n^2 + h^2}{2h} \).

Подставляем: \( 25 = \frac{n^2 + 64}{16} \).

Умножаем на 16: \( 400 = n^2 + 64 \).

Вычисляем \( n^2 = 336 \), значит \( n = 24 \).

Боковое ребро \( SC \) вычисляем по теореме Пифагора: \( SC^2 = h^2 + n^2 = 64 + 576 = 640 \).

Тогда \( SC = \sqrt{640} = 40 \).

Радиус описанной сферы правильной треугольной пирамиды обозначим как \( R \), расстояние от центра сферы до плоскости основания как \( h \), а радиус описанной окружности основания как \( n \). Известно, что \( R = 25 \) и \( h = 8 \). Для нахождения бокового ребра пирамиды \( SC \) сначала найдём \( n \).

Связь между радиусом описанной сферы, радиусом основания и высотой задана формулой \( R = \frac{n^2 + h^2}{2h} \). Подставим известные значения: \( 25 = \frac{n^2 + 8^2}{2 \times 8} \), что равно \( 25 = \frac{n^2 + 64}{16} \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 16: \( 25 \times 16 = n^2 + 64 \), то есть \( 400 = n^2 + 64 \). Вычтем 64 из обеих частей: \( n^2 = 400 — 64 = 336 \). Следовательно, \( n = 24 \), так как \( \sqrt{336} \approx 24 \).

Теперь найдём боковое ребро \( SC \), которое является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и \( n \). По теореме Пифагора: \( SC^2 = h^2 + n^2 \). Подставим значения: \( SC^2 = 8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640 \). Следовательно, \( SC = \sqrt{640} = 40 \). Таким образом, боковое ребро пирамиды равно 40.