ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен 4 см.

Основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6, центр основания в точке \( (0,0,0) \).

Боковое ребро перпендикулярно основанию, значит вершина пирамиды находится на высоте \( h \) над одной из вершин основания, например, в точке \( (-2, -3, h) \).

Центр описанной сферы лежит на оси, проходящей через центр основания, то есть в точке \( (0,0,z_0) \).

Расстояние от центра сферы до вершины основания равно радиусу сферы: \( \sqrt{4 + 9 + z_0^2} = 4 \), откуда \( 13 + z_0^2 = 16 \) и \( z_0^2 = 3 \).

Расстояние от центра сферы до верхней вершины равно тому же радиусу: \( \sqrt{4 + 9 + (h — z_0)^2} = 4 \), значит \( 13 + (h — z_0)^2 = 16 \), откуда \( (h — z_0)^2 = 3 \).

Из уравнений \( z_0^2 = 3 \) и \( (h — z_0)^2 = 3 \) получаем \( h = 2 \sqrt{3} \).

1. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Центр основания находится в середине прямоугольника, поэтому его координаты можно принять как \( (0,0,0) \). Вершины основания имеют координаты \( A(-2,-3,0) \), \( B(2,-3,0) \), \( C(2,3,0) \), \( D(-2,3,0) \). Поскольку одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, оно вертикальное. Пусть это ребро выходит из вершины \( A \), тогда верхняя вершина пирамиды будет иметь координаты \( A'(-2,-3,h) \), где \( h \) — высота пирамиды.

2. Центр описанной сферы должен находиться на одинаковом расстоянии от всех вершин пирамиды. Из симметрии основания и расположения вершины \( A’ \) центр сферы лежит на оси, проходящей через центр основания и вертикально вверх, то есть в точке \( O_c(0,0,z_0) \). Расстояние от центра сферы до вершины основания \( A \) равно \( \sqrt{(0+2)^2 + (0+3)^2 + (z_0-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + z_0^{2}} = \sqrt{13 + z_0^{2}} \). По условию радиус сферы равен 4 см, значит \( \sqrt{13 + z_0^{2}} = 4 \), откуда \( 13 + z_0^{2} = 16 \) и \( z_0^{2} = 3 \).

3. Аналогично расстояние от центра сферы до верхней вершины \( A’ \) равно \( \sqrt{(0+2)^2 + (0+3)^2 + (z_0 — h)^2} = \sqrt{4 + 9 + (z_0 — h)^{2}} = \sqrt{13 + (z_0 — h)^{2}} \). Это расстояние тоже равно радиусу 4 см, значит \( 13 + (z_0 — h)^{2} = 16 \), откуда \( (z_0 — h)^{2} = 3 \). Поскольку \( z_0^{2} = 3 \), из двух уравнений следует, что \( h = 2z_0 \). Подставляя \( z_0 = \sqrt{3} \), получаем \( h = 2\sqrt{3} \).