ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной \(a\). Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол \(\alpha\). Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\). Высота пирамиды \(h\) связана с углом \(\alpha\) боковой грани через тангенс.

Радиус описанной сферы вычисляется по формуле \(R = \frac{h^2 + a^2}{2h}\).

Подставляя выражение для \(h\) через \(a\) и \(\alpha\), получаем

\(R = \frac{a \sqrt{27 \tan^2 \alpha + 48}}{12}\).

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\). Центр этого треугольника обозначим как \(O\), а вершину пирамиды — как \(S\). Высота пирамиды \(h\) — это перпендикуляр из \(S\) на плоскость основания. Две боковые грани, прилегающие к ребрам \(SA\) и \(SB\), перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол \(\alpha\). Это значит, что высота \(h\) связана с углом \(\alpha\) через тангенс, поскольку угол наклона боковой грани к основанию задаётся этим углом.

Для нахождения радиуса описанной сферы \(R\) используем свойства пирамиды и её высоты. Радиус описанной сферы можно выразить через высоту \(h\) и сторону основания \(a\) по формуле \(R = \frac{h^2 + a^2}{2h}\). Это следует из геометрии описанной сферы, где центр сферы лежит на высоте, а расстояния до вершин связаны с высотой и длиной стороны основания. Для вычисления \(h\) применим тригонометрию: учитывая угол \(\alpha\) между третьей боковой гранью и основанием, высота выражается через сторону основания и тангенс угла.

Подставляя выражение высоты \(h\) через сторону \(a\) и угол \(\alpha\), получаем итоговую формулу радиуса описанной сферы: \(R = \frac{a \sqrt{27 \tan^2 \alpha + 48}}{12}\). Эта формула учитывает все геометрические условия задачи — правильность основания, перпендикулярность двух боковых граней и заданный угол третьей грани, обеспечивая точное вычисление радиуса описанной сферы.