ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны \(5\sqrt{3}\) см и \(12\sqrt{3}\) см, а её высота — 17 см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Радиус описанного шара около усечённой пирамиды находится по формуле \( R = \frac{h^2 + r_1^2 + r_2^2}{2h} \).

Высота \( h = 17 \), радиусы описанных окружностей оснований \( r_1 = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \) и \( r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \).

Подставляем: \( R = \frac{17^2 + 5^2 + 12^2}{2 \cdot 17} = \frac{289 + 25 + 144}{34} = \frac{458}{34} = 13 \).

Ответ: \( R = 13 \) см.

Радиус описанного шара около правильной треугольной усечённой пирамиды вычисляется по формуле \( R = \frac{h^{2} + r_1^{2} + r_2^{2}}{2h} \), где \( h \) — высота пирамиды, а \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы описанных окружностей меньшего и большего оснований соответственно. Важно использовать радиусы описанных окружностей, так как пирамида правильная и описанный шар касается всех вершин.

Высота пирамиды равна \( h = 17 \) см. Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника. Меньшая сторона основания равна \( 5\sqrt{3} \), значит радиус описанной окружности меньшего основания равен \( r_1 = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \) см. Аналогично для большего основания со стороной \( 12\sqrt{3} \) радиус описанной окружности равен \( r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \) см.

Подставляем все значения в формулу радиуса описанного шара: \( R = \frac{17^{2} + 5^{2} + 12^{2}}{2 \cdot 17} = \frac{289 + 25 + 144}{34} = \frac{458}{34} = 13 \) см. Таким образом, радиус описанного шара около данной усечённой пирамиды равен 13 см.