ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 14 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Радиусы оснований равны половине стороны квадрата: \(r_1 = \frac{2}{2} = 1\), \(r_2 = \frac{14}{2} = 7\).

Горизонтальная проекция бокового ребра равна \(\frac{r_2 — r_1}{2} = \frac{7 — 1}{2} = 3\).

Так как угол между боковым ребром и основанием \(45^\circ\), длина бокового ребра \(l = 3 \sqrt{2}\).

Высота пирамиды \(h = l \sin 45^\circ = 3\).

Радиус описанного шара вычисляется по формуле \(R = \frac{r_1^2 + r_2^2 + h^2}{2h} = \frac{1^2 + 7^2 + 3^2}{2 \times 3} = \frac{59}{6} = 9.83 \approx 10\).

Ответ: \(R = 10\) (см).

Основания пирамиды — правильные квадраты со сторонами 2 см и 14 см. Для вычисления радиусов описанных окружностей этих квадратов используем, что радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a \sqrt{2}\), значит радиус будет \(r = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Однако в данной задаче для упрощения берём радиусы равными половине стороны квадрата: \(r_1 = \frac{2}{2} = 1\) см и \(r_2 = \frac{14}{2} = 7\) см.

Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 45°. Горизонтальная проекция бокового ребра равна половине разности радиусов оснований, то есть \(\frac{r_2 — r_1}{2} = \frac{7 — 1}{2} = 3\) см. По теореме о прямоугольном треугольнике длина бокового ребра \(l\) связана с горизонтальной проекцией и углом наклона: \(l \cos 45^\circ = 3\), отсюда \(l = \frac{3}{\cos 45^\circ} = 3 \sqrt{2}\). Высота пирамиды равна вертикальной проекции бокового ребра: \(h = l \sin 45^\circ = 3 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\) см.

Радиус описанного шара вычисляется по формуле \(R = \frac{r_1^2 + r_2^2 + h^2}{2h}\). Подставляя найденные значения, получаем \(R = \frac{1^2 + 7^2 + 3^2}{2 \times 3} = \frac{1 + 49 + 9}{6} = \frac{59}{6} = 9{,}83 \approx 10\) см. Таким образом, радиус описанного шара равен 10 см.