ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 4 см, 6 см и 12 см, а все плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть боковые рёбра равны 4, 6 и 12 см. Построим прямоугольный параллелепипед с такими измерениями.

Радиус описанной сферы равен половине диагонали параллелепипеда: \( R = \frac{1}{2} e \).

Диагональ вычисляем по формуле: \( e^2 = 4^2 + 6^2 + 12^2 = 16 + 36 + 144 = 196 \), значит \( e = \sqrt{196} = 14 \).

Тогда \( R = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \) см.

Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 4 см, 6 см и 12 см, и при вершине пирамиды все плоские углы прямые. Это означает, что ребра, исходящие из вершины, взаимно перпендикулярны, и можно рассматривать их как три измерения прямоугольного параллелепипеда. Чтобы найти радиус описанной сферы, нужно определить длину диагонали этого параллелепипеда, так как описанная сфера касается всех вершин, а её радиус равен половине длины диагонали.

Диагональ параллелепипеда с рёбрами 4, 6 и 12 см вычисляется по формуле Пифагора в трёх измерениях: \( e^2 = 4^2 + 6^2 + 12^2 \). Подставляя значения, получаем \( e^2 = 16 + 36 + 144 = 196 \). Извлекая корень, находим \( e = \sqrt{196} = 14 \) см. Эта диагональ соединяет две противоположные вершины пирамиды, проходя через центр описанной сферы.

Радиус описанной сферы равен половине длины диагонали, так как сфера описана вокруг пирамиды и касается всех её вершин. Следовательно, радиус равен \( R = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \) см. Таким образом, радиус описанной сферы, охватывающей треугольную пирамиду с заданными боковыми рёбрами и прямыми углами при вершине, равен 7 см.