ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона – \(4\sqrt{3}\) см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 120°.

Меньшее основание \(BC = 12\), боковая сторона \(CH = 4\sqrt{3}\), угол при основании \(120^\circ\).

В треугольнике \(CHD\) \(\tan 60^\circ = \frac{CH}{HD} = \frac{4\sqrt{3}}{HD}\), значит \(HD = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\).

Большое основание \(AD = AB + HD = 12 + 4 = 16\).

Площадь трапеции \(S = \frac{BC + AD}{2} \times CH = \frac{12 + 16}{2} \times 4\sqrt{3} = 14 \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\).

Ответ: \(56\sqrt{3}\) см².

Дано, что меньшее основание трапеции \(BC = 12\) см, боковая сторона \(CH = 4\sqrt{3}\) см, а угол при основании равен \(120^\circ\). Для нахождения площади трапеции нам необходимо определить длину большего основания \(AD\) и высоту \(CH\). Высота уже известна и равна \(4\sqrt{3}\) см, осталось найти \(AD\).

Рассмотрим треугольник \(CHD\), в котором угол при вершине \(H\) равен \(60^\circ\), поскольку угол при основании трапеции \(120^\circ\), а сумма углов на прямой равна \(180^\circ\), следовательно, угол \(CHD = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\). В этом треугольнике сторона \(CH\) — высота, а \(HD\) — часть основания, которую нужно найти. Используем отношение тангенса угла: \(\tan 60^\circ = \frac{CH}{HD}\). Подставляем известные значения: \(\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{HD}\). Отсюда выражаем \(HD\): \(HD = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) см.

Теперь, чтобы найти длину большего основания \(AD\), складываем длину меньшего основания \(BC = 12\) см и найденное значение \(HD = 4\) см: \(AD = 12 + 4 = 16\) см. Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{BC + AD}{2} \times CH\). Подставляя числа, получаем \(S = \frac{12 + 16}{2} \times 4\sqrt{3} = 14 \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\) см². Таким образом, площадь трапеции равна \(56\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.