ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона основания — 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.

Радиус основания вписанного круга равностороннего треугольника \(r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\).

Радиус вписанной сферы равен \(R = \sqrt{\left(\frac{12 \sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{2}\right)^2} = \sqrt{(4 \sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7\).

Ответ: 7 см.

Для нахождения радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную призму, нужно учитывать геометрическую структуру призмы и свойства вписанных фигур. Основание призмы — правильный треугольник со стороной 12 см. Радиус вписанного круга в равносторонний треугольник находится по формуле \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), где \(a\) — сторона треугольника. Подставляя значение стороны, получаем \(r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\) см. Этот радиус показывает расстояние от центра основания до стороны треугольника.

Однако для сферы, вписанной в призму, важен радиус, который равен расстоянию от центра основания до вершины призмы по диагонали, учитывая высоту призмы. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть 2 см. Радиус сферы можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, где один катет — расстояние от центра основания до вершины треугольника, а второй — половина высоты призмы. Расстояние от центра основания до вершины треугольника равно \( \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \) см, а половина высоты равна \( \frac{2}{2} = 1 \) см.

Используя теорему Пифагора, радиус сферы вычисляется как \( R = \sqrt{\left(4 \sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{16 \times 3 + 1} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7 \) см. Таким образом, радиус сферы, вписанной в правильную треугольную призму с заданными параметрами, равен 7 см.