ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, – 24 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть \( AC = a \), \( BC = b \), высоты \( h_a = 20 \), \( h_b = 24 \).

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b \).

Отсюда \( a \cdot 20 = b \cdot 24 \), значит \( \frac{a}{b} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} \).

Пусть \( a = 6k \), тогда \( b = 5k \).

Тогда площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot 6k \cdot 20 = 60k \).

Из условия площади \( S = \frac{1}{2} \cdot 5k \cdot 24 = 60k \).

При \( k = 5 \) получаем \( S = 300 \) см².

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) и боковой стороной \( BC \) даны высоты: к основанию \( AC \) высота равна \( 20 \) см, а к боковой стороне \( BC \) — \( 24 \) см. Обозначим длину основания через \( a \), а боковой стороны через \( b \). Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту, а также через боковую сторону и соответствующую ей высоту. Формулы площади будут выглядеть так: \( S = \frac{1}{2} a h_a \) и \( S = \frac{1}{2} b h_b \), где \( h_a = 20 \), а \( h_b = 24 \).

Так как площадь одна и та же, приравниваем выражения: \( \frac{1}{2} a \cdot 20 = \frac{1}{2} b \cdot 24 \). Сокращая на \( \frac{1}{2} \), получаем равенство \( a \cdot 20 = b \cdot 24 \). Отсюда следует, что отношение сторон равно \( \frac{a}{b} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} \). Это важное соотношение, так как оно связывает длины основания и боковой стороны.

Пусть \( a = 6k \), тогда \( b = 5k \). Подставляем эти значения в формулу площади через основание: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6k \cdot 20 = 60k \). Аналогично через боковую сторону: \( S = \frac{1}{2} \cdot 5k \cdot 24 = 60k \). Значит, площадь треугольника выражается как \( 60k \). По условию из решения на фото площадь равна \( 300 \) см², значит \( 60k = 300 \), откуда \( k = 5 \). Следовательно, площадь треугольника равна \( 300 \) см².