ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A(3; -1; 0)\), \(B(1; 0; 2)\) и \(C(-1; 3; 2)\) являются вершинами параллелограмма \(ABCD\). Найдите диагональ \(BD\).

Точка \(O\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\), значит \(O(1; 1; 1)\).

Для \(D(x; y; z)\) выполняется \(1 = \frac{1 + x}{2}\), \(1 = \frac{0 + y}{2}\), \(1 = \frac{2 + z}{2}\).

Отсюда \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 0\), значит \(D(1; 2; 0)\).

Длина диагонали \(BD = \sqrt{(1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (0 — 2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2 \sqrt{2}\).

В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке, которая является серединой каждой диагонали. Это означает, что точка пересечения \(O\) является серединой отрезков \(AC\) и \(BD\). Для нахождения координат точки \(O\) нужно найти среднее арифметическое соответствующих координат точек \(A\) и \(C\). Координаты точки \(A\) равны \( (3; -1; 0) \), а точки \(C\) — \( (-1; 3; 2) \). Тогда координаты точки \(O\) вычисляются по формуле: \(O_x = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\), \(O_y = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), \(O_z = \frac{0 + 2}{2} = 1\). Таким образом, точка \(O\) имеет координаты \( (1; 1; 1) \).

Поскольку точка \(O\) является также серединой диагонали \(BD\), её координаты можно выразить через координаты точек \(B\) и \(D\). Известно, что \(B\) имеет координаты \( (1; 0; 2) \), а \(D\) — неизвестные \( (x; y; z) \). Формулы для координат середины отрезка \(BD\) имеют вид: \(O_x = \frac{1 + x}{2}\), \(O_y = \frac{0 + y}{2}\), \(O_z = \frac{2 + z}{2}\). Приравнивая эти значения к координатам точки \(O\), получаем систему уравнений: \(1 = \frac{1 + x}{2}\), \(1 = \frac{0 + y}{2}\), \(1 = \frac{2 + z}{2}\). Решая каждое уравнение, находим: \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 0\). Следовательно, координаты точки \(D\) равны \( (1; 2; 0) \).

Для вычисления длины диагонали \(BD\) используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: \(BD = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\), где \(B(1; 0; 2)\), \(D(1; 2; 0)\). Подставляя значения, получаем: \(BD = \sqrt{(1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (0 — 2)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4}=\)
\( = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}\). Таким образом, длина диагонали \(BD\) равна \(2 \sqrt{2}\).