ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна \(a\). Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.

Пусть \(H\) — высота призмы, \(P\) — периметр основания. Тогда площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = P \cdot H\).

Периметр основания квадрата \(P = 4a\).

Радиус шара \(R = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{H^2}{4}}\).

Отсюда \(4R^2 = 2a^2 + H^2\), значит \(H = \sqrt{4R^2 — 2a^2}\).

Подставляем в формулу площади боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}} = 4a \cdot \sqrt{4R^2 — 2a^2}\).

Пусть \(a\) — сторона квадрата основания правильной четырёхугольной призмы, а \(H\) — её высота. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S_{\text{бок}} = P \cdot H\). Поскольку основание — квадрат, периметр равен \(P = 4a\).

Призма вписана в шар радиуса \(R\), значит все вершины призмы лежат на поверхности шара. Центр шара совпадает с центром призмы, поэтому расстояние от центра призмы до любой вершины равно \(R\). Вершина призмы определяется координатами, которые можно представить как сочетание половины диагонали основания и половины высоты призмы. Диагональ квадрата равна \(a \sqrt{2}\), поэтому половина диагонали равна \(\frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

Расстояние от центра призмы до вершины вычисляется по формуле расстояния в пространстве: \(R = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{H^2}{4}}\). Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение \(R^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{H^2}{4}\), откуда выразим высоту: \(H^2 = 4R^2 — 2a^2\), следовательно, \(H = \sqrt{4R^2 — 2a^2}\).

Подставляя найденное значение высоты в формулу площади боковой поверхности, получаем окончательное выражение: \(S_{\text{бок}} = 4a \cdot \sqrt{4R^2 — 2a^2}\). Это и есть площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в шар радиуса \(R\).