ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Боковое ребро \( h = 8 \) см, диагональ боковой грани \( d = 13 \) см.

Найдём сторону основания \( a \) из диагонали:
\( 13 = \sqrt{a^2 + 8^2} \),
\( 169 = a^2 + 64 \),
\( a^2 = 105 \),
\( a = \sqrt{105} \).

Радиус описанного шара:
\( R = \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}} = \sqrt{105 + \frac{64}{4}} = \sqrt{105 + 16} = \sqrt{121} = 11 \) см.

Боковая грань правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольник с высотой \( h = 8 \) см и основанием равным стороне правильного шестиугольника \( a \). Из условия известно, что диагональ этого прямоугольника равна \( d = 13 \) см. Диагональ прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора как \( d = \sqrt{a^2 + h^2} \). Подставляя известные значения, получаем уравнение \( 13 = \sqrt{a^2 + 8^2} \).

Для нахождения стороны основания \( a \) возведём обе части уравнения в квадрат: \( 13^2 = a^2 + 8^2 \), что даёт \( 169 = a^2 + 64 \). Вычтя 64 из обеих частей, получаем \( a^2 = 105 \), следовательно, \( a = \sqrt{105} \). Это значение стороны основания является также радиусом описанной окружности правильного шестиугольника, так как радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника.

Радиус описанного шара вокруг призмы вычисляется по формуле \( R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}} \), где \( r \) — радиус описанной окружности основания, равный \( a \). Подставляя найденные значения, получаем \( R = \sqrt{(\sqrt{105})^2 + \frac{8^2}{4}} = \sqrt{105 + \frac{64}{4}} = \sqrt{105 + 16} = \sqrt{121} = 11 \) см. Таким образом, радиус описанного шара равен 11 см.