ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Радиус шара, описанного около данной призмы, равен 13 см. Найдите боковое ребро призмы.

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, гипотенуза \( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \). Радиус основания \( r = \frac{c}{2} = 5 \).

Радиус описанной сферы \( R = 13 \), тогда \( R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}} \).

Подставляем: \( 13^2 = 5^2 + \frac{h^2}{4} \), значит \( 169 = 25 + \frac{h^2}{4} \).

Отсюда \( \frac{h^2}{4} = 144 \), значит \( h^2 = 576 \), следовательно \( h = 24 \).

Основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Чтобы определить радиус описанной окружности этого треугольника, сначала находим его гипотенузу по теореме Пифагора: \( c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть \( r = \frac{10}{2} = 5 \) см. Этот радиус лежит в основании призмы.

Далее, нам известен радиус сферы, описанной около всей призмы, равный \( R = 13 \) см. Для призмы с основанием в виде треугольника и высотой \( h \) радиус описанной сферы связан с радиусом основания и высотой формулой \( R = \sqrt{r^{2} + \frac{h^{2}}{4}} \). Это выражение получается из того, что центр описанной сферы находится на середине высоты призмы, а расстояние от центра до вершины призмы — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( r \) и \( \frac{h}{2} \).

Подставляем известные значения в уравнение: \( 13^{2} = 5^{2} + \frac{h^{2}}{4} \), то есть \( 169 = 25 + \frac{h^{2}}{4} \). Вычитаем 25 из обеих частей: \( 169 — 25 = \frac{h^{2}}{4} \), следовательно \( 144 = \frac{h^{2}}{4} \). Умножаем обе части на 4: \( 144 \times 4 = h^{2} \), получаем \( h^{2} = 576 \). Извлекая квадратный корень, находим высоту призмы \( h = \sqrt{576} = 24 \) см.