ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является треугольник с углом 150° и противолежащей ему стороной, равной 15 см. Боковое ребро призмы равно 16 см. Найдите радиус сферы, в которую вписана данная призма.

Радиус описанной окружности треугольника \(r = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15\) см.

Радиус сферы \(R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}} = \sqrt{15^2 + \frac{16^2}{4}} = \sqrt{225 + 64} = 17\) см.

Рассмотрим треугольник с углом \( \alpha = 150^\circ \) и стороной \( a = 15 \) см, лежащей напротив этого угла. Для вычисления радиуса описанной окружности этого треугольника используем формулу \( r = \frac{a}{2 \sin \alpha} \). Подставляя значения, получаем \( r = \frac{15}{2 \sin 150^\circ} \). Поскольку \( \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \), то \( r = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15 \) см. Таким образом, радиус описанной окружности треугольника равен 15 см.

Далее, призма имеет высоту \( h = 16 \) см, которая является боковым ребром. Для нахождения радиуса сферы, описанной около этой призмы, учитываем, что сфера описывается вокруг основания и высоты призмы. Формула радиуса описанной сферы для призмы с треугольным основанием и высотой \( h \) имеет вид \( R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}} \), где \( r \) — радиус описанной окружности основания. Подставляя известные значения, получаем \( R = \sqrt{15^2 + \frac{16^2}{4}} \).

Выполним вычисления: \( 15^2 = 225 \), \( 16^2 = 256 \), значит \( \frac{256}{4} = 64 \). Тогда \( R = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} \). Корень из 289 равен 17, следовательно, радиус сферы, описанной около призмы, равен 17 см.