ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 2 см, а высота — 4 см. Найдите радиус шара.

Радиус вписанной сферы в правильную четырёхугольную пирамиду вычисляется по формуле \( R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{2}}{2h} \).

Подставляем \( h = 4 \) и \( a = 2 \):
\( R = \frac{4^2 + \frac{2^2}{2}}{2 \cdot 4} = \frac{16 + \frac{4}{2}}{8} = \frac{16 + 2}{8} = \frac{18}{8} = 2,25 \) см.

Ответ: \( R = 2,25 \) см.

Радиус вписанной сферы в правильную четырёхугольную пирамиду можно найти по формуле \( R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{2}}{2h} \), где \( h \) — высота пирамиды, а \( a \) — длина стороны основания. Эта формула учитывает, что основание пирамиды — квадрат, и позволяет найти расстояние от центра основания до точки касания сферы с боковыми гранями и основанием.

Для данной задачи сторона основания равна \( a = 2 \) см, а высота пирамиды \( h = 4 \) см. Сначала вычислим числитель формулы: \( h^2 = 4^2 = 16 \), а \( \frac{a^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Складываем эти значения: \( 16 + 2 = 18 \). Далее знаменатель равен \( 2h = 2 \times 4 = 8 \).

Теперь подставляем числитель и знаменатель в формулу: \( R = \frac{18}{8} \). Делим и получаем \( R = 2,25 \) см. Это и есть радиус вписанной сферы, которая касается всех граней пирамиды изнутри. Такой радиус гарантирует, что сфера будет касаться основания и всех боковых граней равномерно.

Ответ: \( R = 2,25 \) см.