ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 14.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите высоту пирамиды.

Радиус шара \(R\) выражается через высоту пирамиды \(h\) и угол \(\alpha\) так:

\(R = \frac{h^2 + \frac{h^2}{\tan^2 \alpha}}{2h} = \frac{h^2 \left(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha}\right)}{2h} = \frac{h}{2} \frac{\tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha}\).

Так как \(\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\), можно упростить, но из условия проще оставить в виде с \(\tan\).

Отсюда выразим \(h\):

\(h = 2R \sin^2 \alpha\).

Рассмотрим выражение для радиуса шара \(R\), который связан с высотой пирамиды \(h\) и углом \(\alpha\). Начальное выражение выглядит так:

\(R = \frac{h^2 + \frac{h^2}{\tan^2 \alpha}}{2h}\).

Здесь в числителе стоит сумма двух слагаемых: первое — это \(h^2\), второе — это \( \frac{h^2}{\tan^2 \alpha} \). Чтобы упростить эту дробь, вынесем общий множитель \(h^2\) за скобки:

\(R = \frac{h^2 \left(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha}\right)}{2h}\).

Теперь можно сократить \(h^2\) в числителе с \(2h\) в знаменателе, оставив в результате:

\(R = \frac{h}{2} \left(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha}\right)\).

Далее рассмотрим тригонометрическую часть выражения. Известно, что \(\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\), то есть:

\(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{\tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\tan^2 \alpha}\).

Однако, для удобства и простоты записи, выражение лучше оставить в виде с \(\tan\), чтобы не усложнять дальнейшие преобразования. Таким образом, окончательная формула для радиуса принимает вид:

\(R = \frac{h}{2} \frac{\tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha}\).

Теперь выразим высоту пирамиды \(h\) через радиус \(R\) и угол \(\alpha\). Для этого умножим обе части равенства на \(2\) и поделим на \(\frac{\tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha}\):

\(h = 2R \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\tan^2 \alpha + 1}\).

Используя тригонометрическое тождество \(\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\), перепишем знаменатель:

\[
h = 2R \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = 2R \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha.
\]

Поскольку \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), то \(\tan^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\). Следовательно,

\(h = 2R \sin^2 \alpha\).

Таким образом, мы получили простую и удобную формулу для высоты пирамиды через радиус шара и угол \(\alpha\):

\[
h = 2R \sin^2 \alpha.
\]

Это выражение показывает, что высота напрямую пропорциональна радиусу и квадрату синуса угла \(\alpha\), что удобно использовать при решении задач, где известен радиус и угол, а требуется определить высоту.