ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием стороны \(a\) и двугранным углом при ребре основания \(\alpha\).

Обозначим высоту пирамиды через \(h\), а угол при вершине, связанный с двугранным углом, через \(\varphi\).

Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра основания до плоскости боковой грани, то есть

\( R = \frac{h \cdot \cos \varphi}{1 + \cos \varphi} \).

Высоту \(h\) можно выразить через сторону основания и угол \(\alpha\):

\( h = a \tan \frac{\alpha}{2} \).

Угол \(\varphi\) связан с \(\alpha\) так, что

\( \cos \varphi = \cos \frac{\alpha}{2} \).

Подставляя это в формулу для \(R\):

\( R = \frac{a \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \frac{\alpha}{2}} \).

Используя тригонометрические преобразования, получаем:

\( R = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Итог:

\( R = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с квадратным основанием со стороной \(a\). Вершина пирамиды расположена так, что двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\). Нам нужно найти радиус вписанного шара, то есть радиус шара, который касается всех боковых граней и основания пирамиды.

Для начала определим высоту пирамиды \(h\). Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В правильной четырёхугольной пирамиде высота связана с углом \(\alpha\) следующим образом. Рассмотрим одну из боковых граней — это равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и боковыми ребрами, сходящимися в вершине. Двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания — это угол между двумя смежными боковыми гранями. Если провести высоту \(h\), то можно выразить её через сторону основания \(a\) и угол \(\alpha\) по формуле

\( h = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Далее рассмотрим радиус вписанного шара \(R\). Этот радиус равен расстоянию от центра основания до точки касания шара с боковой гранью. Поскольку шар касается всех боковых граней, его центр лежит на высоте \(h\) и находится на равном расстоянии от всех граней. Если обозначить угол между высотой и боковой гранью через \(\theta\), то радиус вписанного шара можно выразить как

\( R = h \sin \theta \).

Угол \(\theta\) связан с двугранным углом \(\alpha\) соотношением

\( \theta = \frac{\alpha}{2} \),

поскольку двугранный угол \(\alpha\) делится высотой пирамиды на два равных угла. Подставляя это в выражение для радиуса, получаем

\( R = h \sin \frac{\alpha}{2} \).

Теперь подставим значение высоты \(h\) из первой формулы:

\( R = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} \).

Используя тригонометрическую тождественность \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), преобразуем выражение:

\( R = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2} \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Таким образом, радиус вписанного шара выражается через сторону основания \(a\) и двугранный угол \(\alpha\) формулой

\( R = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Это окончательное выражение для радиуса вписанного шара в правильную четырёхугольную пирамиду.